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特征方程式
找到特征方程式的根r1, ..., rn，就可以找到微分方程的通解。特征方程式的根可能是实数或复数，可能都是不同的值，也可能会有相同的值（重根）。若特征方程式的根有相异的实根，另外有h个重根，或是k个复数的根，其解分别为yD(x), yR1(x), ..., yRh(x)及yC1(x), ..., yCk(x)，因此通解为
y
(
x
)
=
y
D
(
x
)
+
y
R
1
(
x
)
+
⋯
+
y
R
h
(
x
)
+
y
C
1
(
x
)
+
⋯
+
y
C
k
(
x
)
{\displaystyle y(x)=y_{\mathrm {D} }(x)+y_{\mathrm {R} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {R} _{h}}(x)+y_{\mathrm {C} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {C} _{k}}(x)}
例子
编辑
以下是常系数的线性齐次微分方程
y
(
5
)
+
y
(
4
)
−
4
y
(
3
)
−
16
y
″
−
20
y
′
−
12
y
=
0
{\displaystyle y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0}
其特征方程为
r
5
+
r
4
−
4
r
3
−
16
r
2
−
20
r
−
12
=
0
{\displaystyle r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0}
将特征方程因式分解，可得到
(
r
−
3
)
(
r
2
+
2
r
+
2
)
2
=
0
{\displaystyle (r-3)\left(r^{2}+2r+2\right)^{2}=0}
可以看到r的解有一个单根，r1 = 3以及重根的复数根r2,3,4,5 = −1 ± i，因此其通解为
y
(
x
)
=
c
1
e
3
x
+
e
−
x
(
c
2
cos
x
+
c
3
sin
x
)
+
x
e
−
x
(
c
4
cos
x
+
c
5
sin
x
)
{\displaystyle y(x)=c_{1}e^{3x}+e^{-x}(c_{2}\cos x+c_{3}\sin x)+xe^{-x}(c_{4}\cos x+c_{5}\sin x)}
其中有常数c1, ..., c5。
相异实根
编辑
根据应用在常系数线性齐次微分方程的叠加原理，若u1, ..., un是特定微分方程的n个线性无关的解，则c1u1 + ... + cnun也是其解，其中c1, ..., cn为任意常数[1][7]。因此，若特征方程有相异实根r1, ..., rn，则通解为
y
D
(
x
)
=
c
1
e
r
1
x
+
c
2
e
r
2
x
+
⋯
+
c
n
e
r
n
x
{\displaystyle y_{\mathrm {D} }(x)=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+\cdots +c_{n}e^{r_{n}x}}
。
重根实根
编辑
若特征方程式中有重复k次的根r1，可以确定yp(x) = c1er1x会是微分方程的解，不过这个解没有针对其他k − 1的根提供线性独立的解。因为r1为k次重根，可以将微分方程改写为[1]
(
d
d
x
−
r
1
)
k
y
=
0
{\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}y=0}
.
因为yp(x) = c1er1x为其中的一个解，因此可以令通解为以下的形式y(x) = u(x)er1x，其中 u(x)是待确认的函数。将uer1x代入后可得
(
d
d
x
−
r
1
)
u
e
r
1
x
=
d
d
x
(
u
e
r
1
x
)
−
r
1
u
e
r
1
x
=
d
d
x
(
u
)
e
r
1
x
+
r
1
u
e
r
1
x
−
r
1
u
e
r
1
x
=
d
d
x
(
u
)
e
r
1
x
{\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}\left(ue^{r_{1}x}\right)-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}}
其中k = 1。上述的式子应用k次，可以得到
(
d
d
x
−
r
1
)
k
u
e
r
1
x
=
d
k
d
x
k
(
u
)
e
r
1
x
=
0
{\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0}
除以er1x后可得
d
k
d
x
k
(
u
)
=
u
(
k
)
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)=u^{(k)}=0}
上述式子若且唯若u(x)是k − 1次的多项式，因此u(x) = c1 + c2x + c3x2 + ... + ckxk − 1.[6]。因为y(x) = uer1x，因此通解中对应r1的解会是
y
R
(
x
)
=
e
r
1
x
(
c
1
+
c
2
x
+
⋯
+
c
k
x
k
−
1
)
{\displaystyle y_{\mathrm {R} }(x)=e^{r_{1}x}\left(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1}\right)}
复数根
编辑
若二阶微分方程有共轭复数根r1 = a + bi及r2 = a − bi，其对应的通解为y(x) = c1e(a + bi)x + c2e(a − bi)x。利用欧拉公式（eiθ = cos θ + i sin θ），可以将通解改写如下：
y
(
x
)
=
c
1
e
(
a
+
b
i
)
x
+
c
2
e
(
a
−
b
i
)
x
=
c
1
e
a
x
(
cos
b
x
+
i
sin
b
x
)
+
c
2
e
a
x
(
cos
b
x
−
i
sin
b
x
)
=
(
c
1
+
c
2
)
e
a
x
cos
b
x
+
i
(
c
1
−
c
2
)
e
a
x
sin
b
x
{\displaystyle {\begin{aligned}y(x)&=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\\&=c_{1}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_{2}e^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\&=\left(c_{1}+c_{2}\right)e^{ax}\cos bx+i(c_{1}-c_{2})e^{ax}\sin bx\end{aligned}}}
其中c1和c2是系数，不过可能不是实数，而且随初始条件而不同[6]（因为y(x)是实数，c1 − c2需要是虚数或是零，c1 + c2为实数，为了要让等号右边为实数）
例如，若c1 = c2 = 1/2，可以得到特解y1(x) = eax cos bx，另外，若c1 = 1/2i及c2 = −1/2i，可以得到另一个独立的解y2(x) = eax sin bx。利用重叠原则，有r = a ± bi复根的常系数线性齐次微分方程，其通解如下：
y
C
(
x
)
=
e
a
x
(
c
1
cos
b
x
+
c
2
sin
b
x
)
{\displaystyle y_{\mathrm {C} }(x)=e^{ax}\left(c_{1}\cos bx+c_{2}\sin bx\right)}
上述的分析也可以应用在高阶微分方程，其特征方程式中也可能有非实数的共轭根。