一招搞定影子长度题：看图理解“离灯越远，影子越长”

💡 阿星解密：为什么公式长这样？

想象一个夜晚，你站在一盏高高的路灯下。你的脚下会拖出一条长长的影子。现在，你开始朝着远离路灯的方向走。你发现了什么？你离路灯越远，你的影子就会变得越长！ 这就是我们解开所有“影子长短”题目的钥匙。

背后的数学原理是“相似三角形”。路灯的光线、你和你的影子，构成了两个形状一样、大小不同的三角形。

👀 看图说话：影子的“伸缩”秘密

[这是两个相似的三角形，显示了“离灯越远，影子越长”]

关键点拨：

图中隐藏着两对“孪生三角形”。大三角形（路灯顶->影子尖->路灯底）和小三角形（人头->影子尖->人脚）是相似的。这意味着，它们的对应边成比例。所以，路灯高度 L : 人影长度 S = (人到灯的水平距离 D + 人影长度 S) : 人影长度 S 吗？不对！慢动作回放：大三角形的高是 L，底边是 (D+S)；小三角形的高是 H，底边是 S。比例关系是：L / H = (D + S) / S。这个“D+S”就是最容易忽略的“隐形长度”——它是从灯杆到影子尖的总距离！

🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通

【母题演示】一盏4.5米高的路灯下，一个身高1.5米的同学站在离路灯杆2米远的地方，他的影子有多长？

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阿星的显微镜

我们套用刚才发现的“孪生三角形”比例：路灯高 / 人身高 = (人到灯距离 + 影子长) / 影子长。

标准算式：设影子长为 S 米。

比例式：\( \frac{4.5}{1.5} = \frac{2 + S}{S} \)

计算：\( 3 = \frac{2 + S}{S} \) → \( 3S = 2 + S \) → \( 2S = 2 \) → \( S = 1 \)

✅ 影子长 1米。

【易错陷阱】还是那盏4.5米高的路灯，小明的影子测量出来是3米长。小明直接从影子尖走到路灯杆下，请问他走了多少米？

⚠️

阿星的避雷针：

大多数人会怎么错：认为走了就是影子长3米。或者用比例时，错误地写成 \( \frac{4.5}{1.5} = \frac{D}{3} \)。

图解陷阱：错误算式只考虑了“人到灯的距离D”和“影子长S”成比例，忘记了比例关系中的总长度是 D+S，而不是单独的D。

正确思路：已知影子长S=3米，路灯高L=4.5米，人身高H=1.5米。求人到灯的距离D。

比例关系：\( \frac{L}{H} = \frac{D + S}{S} \) → \( \frac{4.5}{1.5} = \frac{D + 3}{3} \)

计算：\( 3 = \frac{D + 3}{3} \) → \( 9 = D + 3 \) → \( D = 6 \)

✅ 小明走了 6米 才从影子尖回到灯下。你看，他走的路程是“人到灯的距离D”，这可比影子长S要长！

【高手进阶】一条笔直的马路上，每隔20米有一盏4.8米高的路灯。小华身高1.6米，沿着马路散步。当他走到两盏路灯正中间的位置时，他的两个影子一共有多长？（假设影子都在马路同侧）

🚀

思维迁移：这其实是两个“影子问题”的叠加。小华在两盏灯中间，所以离每盏灯的水平距离都是10米。我们需要分别计算他相对于左边路灯的影子长，和相对于右边路灯的影子长，然后把两个影子长度加起来。注意，两个影子方向相反，但在一条直线上，所以总长就是两者之和。

计算：设对一盏灯的影子长为S。

\( \frac{4.8}{1.6} = \frac{10 + S}{S} \) → \( 3 = \frac{10 + S}{S} \) → \( 3S = 10 + S \) → \( S = 5 \)

对另一盏灯的影子长同样是5米。

✅ 两个影子总长度为 5 + 5 = 10米。

📝 阿星的定海神针（口诀）：

影子长短看相似，对应边比要一致。

灯高比人高，等于（距加影）比影子。

🚀 举一反三：巩固练习

练习一

（基础复现）身高1.2米的小白在广场上玩，广场路灯高6米。如果小白的影子长1.8米，那么他离路灯杆多少米？

练习二

（陷阱识别）小亮在灯下，影长2米。他朝着远离灯的方向走了3米后，影长变成了5米。请问小亮的身高是多少？

练习三

（生活应用）一座塔高30米。下午，塔的影子投射在旁边一栋18米高的楼上，量得楼顶的影子和塔尖的影子刚好重合（即楼完全在塔影里）。如果楼离塔有20米远，请问此时塔的影子总长度是多少？

📚 答案与解析

【答案速查】

练习一：3.6米

练习二：1.2米

练习三：50米

【解析概要】

练习一：公式 \( \frac{6}{1.2} = \frac{D + 1.8}{1.8} \)，解得 D=3.6。

练习二：设灯高L，身高H。第一次：\( L/H = (D+2)/2 \)；第二次：\( L/H = (D+3+5)/5 \)。因为L/H不变，所以 \( (D+2)/2 = (D+8)/5 \)，解得D=2，再代入得H=1.2。

练习三：这是一个“楼”在“塔影”中的问题。把“楼”看作一个“人”。楼高18米（H），塔高30米（L）。楼顶的影子与塔尖重合，意味着从塔尖到楼顶的光线是水平的。此时，楼到塔尖影子尖的距离就是楼影长S。比例：\( 30/18 = (20 + S)/S \)，解得 S=30。但S是楼产生的影子长度，塔的影子总长 = 塔到楼的距离(20) + 楼产生的影长(30) = 50米。